Part 2. 变分的简单介绍
首先我们引入位矢的概念。质点的坐标可以由数组(x,y,z)来进行表示，而同时这个数组也代表了一个从坐标系原点起始，连接(x,y,z)点的矢量。因此我们引入位置矢量，简称位矢，来表示这样一个矢量：

其中粗体字表示矢量，而字母带尖表示坐标基矢。【这意味着在不同的坐标系下坐标基矢可以不同】有了位矢这个概念我们就可以更好的来描述质点的位置。
其次我们来粗陋的接触一下变分。变分在泛函中的地位和微分在函数中的地位相似。如果我们理解泛函为函数的函数，那么变分的意义就会更加明显。于是我们引入这样一个情景来解释变分：
假如我们有这样一个以t为自变量的函数r(t)，那么我们就可以画出图中红色的曲线，即函数r(t)的曲线。我们平常所接触的微分即是r(t)曲线在极小t变动下的增量，即dr(t)。而绿色的曲线则是r(t)在每一点变分后留下的曲线，也就是说在r(t)上增加一个叫做δr(t)的量来使得曲线产生了变化，而δr(t)就叫做函数r(t)的变分。事实上正如同微分，我们常常要求δr(t)非常小来对函数的变动来进行研究。有了变分，我们就可以更好地研究函数极值问题。

变分的运算和微分有着相同的法则，甚至在有些时候变分和微分同时出现在式子中时两者先后顺序可以交换【比如等时变分下】。

Part 3. 力学系统的拘束函数
首先我们来给出空间直角坐标系下拘束函数的定义：

如果用矢量式则是：

其中n为系统中质点组内质点的数量。但是我们不可能凭空建立这样一个函数，它的产生必然有一定原因。因此我们稍微解释一下研究拘束函数的原因：
我们假设系统并没有受到任何约束的作用，此时系统内质点的运动依旧可以用牛顿定律来决定，即：

这里我们用*来表示不考虑约束时的物理量，而u表示一个坐标分量。那么我们很容易得到质点由初始状态t0经历无穷小时间间隔后的坐标分量为：

然而在系统受到一个（组）约束时，牛顿定律就不是随便能用的了，因此，此时的坐标分量不能再直接带入牛顿定律。所以在考虑约束作用时坐标分量变为：

因此，考虑约束作用前后的坐标分量之差为：

所以，由上述式子可以看出，约束作用对系统影响的大小不仅与坐标差有关，还与相应质量有关。因此在考虑质点组时，我们需要以质量为权因子对坐标分量差求加权平方和，因此便有：

这里的N为质点数量，由于此处是对每个坐标分量求和【而之前定义的函数早已对3个坐标分别求和】，因此一个质点需要求3个坐标分量的和。由此我们可以发现，前面所定义的拘束函数Z实际上是这样一种描述约束作用大小的主项系数，所以这个函数理所应当的可以用来描述约束对质点组作用的大小。
然而一个问题在于，这个函数显然不是单一取值的。那么为什么一个由固定约束组限制的系统在同一初始条件下，约束作用的大小可以取很多甚至无数多的值呢？这归结于系统在约束的作用下允许存在很多种不同的运动情况，这组运动情况叫做可能运动变更。如果我们从一个初始状态出发，考虑满足给定约束组的运动，那么这样的运动一般并不唯一。如果细心可以发现，在上面研究拘束函数的构造原因时我们写下了考虑约束作用时质点的坐标变化，而这个坐标变化已经包含了所有的可能运动变更。【因为这一步并没有添加任何其他条件，因此关系式是普适的】因此，实际运动变更被包含在了这组可能运动变更内。于是我们就需要考虑怎样才能在这一组可能运动变更下找到实际运动变更。对于这个问题，高斯提出了他著名的高斯原理。

Part 4. 高斯最小拘束原理的简单介绍
高斯最小拘束原理也叫微分变分原理，内容是：在理想约束条件下，系统在某一瞬时，与和实际运动变更的位置，速度，约束条件均相同但加速度不同的可能运动变更相比，实际运动变更应使拘束函数Z取极小值。这里就要用到我们之前提过的变分了。用数学表示这个原理非常简洁明了：

因此我们可以将拘束函数代入并化简得到实际数学表示：

之所以对Z的变分最后只剩下位矢的二阶导数项是因为，质点的质量和受力都是给定的力学量，因此对他们的商的变分为0。如果想数学上证明这个原理的正确性，可以在实际运动变更的加速度r’’上增加变分δr’’来证明拘束函数Z的变化为正，因此拘束函数变大了。实际上在这样的参数设置下，拘束函数的变化为：

因此可以证明实际运动变更的拘束函数取极小值。
值得注意的是，当约束为一阶线性约束时，高斯原理可以退化为达朗贝尔-拉格朗日原理。因此可以间接证明这个原理并非是架空的。而更值得一提的是，高斯原理和最小作用量原理的关系相当紧密。而高斯定理在处理一阶约束系统时，我们可以放心大胆的去做，因为高斯原理在这种情况下是完备的。

前排马克留名

前排留名

前排

前排，话说更的速度真快啊

然而两个小时过去了……
好歹回复过两位数了……

其实这类科普经常导致同学们以为变分只能拿来求函数极值不过lili里貌似也就是求极值？

顶。。。话说能不能给我的自主招生答疑贴加个精。。我都没什么动力了

滋词，马克，前排

顶一下

前排

先顶了再看 大小姐威武