预备知识:
直线上的对合:一维点列的射影变换若互逆，则称为对合变换。类似的，可以定义二次曲线上的对合。
推论:直线上的对合只有反演与中心对称两种形式
定理:对合由两组互逆对确定
笛沙格对合定理:设简单四点形内接于非退化二次曲线，则任意不过四点形顶点的直线与二次曲线的两个交点属于四点形在直线上引起的对合(即对边与直线的交点作为互逆对决定的对合)
注:二次曲线可以有很多条，但对合都是同一的
例1.蝴蝶定理
二次曲线Γ中心为O，过O作直线PQ,使OP=OQ,过P,Q分别作Γ的弦AB,CD,经过ABCD的二次曲线交直线PQ于E,F,求证:OE=OF
证明:采取x轴直线上的非齐次射影坐标,P,Q已是一组互逆对,它们关于原点对称。又，曲线Γ的方程决定了其与x轴的交点关于原点对称。根据笛沙格对合定理，四点形ABCD外接二次曲线与x轴的交点始终是某个对合的互逆对，而此对合已被前二组互逆对完全确定为关于原点中心对称，所以以上交点必也关于原点对称。反映在代数上，在经过ABCD的曲线系方程中令y=0得到一个关于横坐标的方程，这正是x轴上点列对合的代数表达。所以，所谓“一次项系数为零”绝非歪打正着，而是有着几何的深刻背景。或:P,Q坐标及曲线Γ的代数特征决定了一次项系数为零，也是不错的理解方法。
理解:曲线系与对合的内在一致性
例2.椭圆左端点A，作弦AQ，过A作AP⊥AQ交椭圆于P，求证:PQ过定点
证明:AP,AQ是一组线束对合互逆对(此对合由交换点A处垂直直线所确定)，射影到椭圆上就是P,Q是二次曲线上某个对合的互逆对，故PQ连线经过对合中心，即经过定点。
定性分析如此简洁，为什么定量计算时再用对合那一套不动直线极点极线之类就比曲线系麻烦得多了呢？这促使探求曲线系解法的几何本质。曲线系解法主要思路就是，利用AAPQ曲线系的两种表示，“算两次”，得到PQ满足的方程，从而得知定点坐标。看起来，过程与对合毫无关系。究竟有没有关系呢？Left for the reader as an exercise.
例3.直线AB,CD交二次曲线Γ于A,B,C,D,ABCD共圆，求证:直线AB,CD斜率之和为零
证明:分抛物线与椭圆、双曲线讨论，此处仅讨论后者情形。多次应用笛沙格对合定理可得无穷远直线上四组互逆对及其对合特征，以斜率代入交比表达式即得命题。
现在思考如何用曲线系解释上面的过程。命题共含两条二次曲线，一个简单四点形。考虑无穷远直线上的非齐次射影坐标(此处是齐次坐标里的第二个坐标分量)，彼两条二次曲线与无穷远直线交点的非齐次射影坐标互为相反数(圆，则±i，Γ，则化为齐次坐标，得到一个类似ax²=b的方程，与上同)，则此对合是取无穷远直线上的点的齐次坐标第二个坐标分量的相反数。两组互逆对确定一个对合，故四点形ABCD(点的顺序无关紧要)在无穷远直线上确定的对合同属此类。事实上，直线的斜率正是其上无穷远点的齐次坐标的第二坐标分量，所以命题成立(此处射影过程采用代数方式，反而使得证明更加统一)。
用曲线系解，得体现上面的对合性质。Γ与无穷远线交点属于彼对合，在一开始就为方程所决定(指标准方程)。圆与无穷远线，则式中xy一项为零。这样一来，对合被完全确定。事实上，曲线系就是这么解的。
例4.PAB,PCD为Γ割线，AD∩BC=Q,PQ∩Γ=E,F,求证:(PQEF)=-1
证明:从代数上考虑，由调和点列的性质，只需证1/PE+1/PF=2/PQ。乘上直线PQ倾斜角的余弦值，只需求出其横坐标(本质仍是直线PQ上的非齐次射影坐标)的表示。从几何上考虑，对四点形ABCD，直线PQ及Γ应用笛沙格对合定理，可得E,F为对合互逆对，且P,Q为对合不动点(均指直线PQ上的某个对合)，所以命题成立。参照前文使用笛沙格的经验，我们先表示经过ABCD四点的曲线系。当它退化为AD∪BC时，与直线PQ只有一个交点Q，也即联立后方程有唯一实解(这里说明一下，曲线系的参数可以放在二次曲线AB CD上，也可放在Γ上，此处采取前者，从而避免退化为AB∪CD)。至于E,F的横坐标，PQ与Γ联立应用韦达定理可得。
依然令曲线系方程化为特殊形式求解，与例1类似。
以上例子几乎全部与依赖直线非齐次射影坐标的点列对合有关，那么线束对合呢？其实也是依赖于它的，正如上述的斜率的射影解释。此处且举数例，望读者自行探究其曲线系解释。
例5.圆锥曲线等角性质
过P作Γ切线PX,PY交Γ于X,Y,焦点为A,B(如图为F₁，F₂)，求证:
(1)∠APX=∠BPY
(2)AP平分∠XAY(的外角)
注:…的相关部分指笛沙格对合定理
直线上的对合:一维点列的射影变换若互逆，则称为对合变换。类似的，可以定义二次曲线上的对合。
推论:直线上的对合只有反演与中心对称两种形式
定理:对合由两组互逆对确定
笛沙格对合定理:设简单四点形内接于非退化二次曲线，则任意不过四点形顶点的直线与二次曲线的两个交点属于四点形在直线上引起的对合(即对边与直线的交点作为互逆对决定的对合)
注:二次曲线可以有很多条，但对合都是同一的
例1.蝴蝶定理
二次曲线Γ中心为O，过O作直线PQ,使OP=OQ,过P,Q分别作Γ的弦AB,CD,经过ABCD的二次曲线交直线PQ于E,F,求证:OE=OF
证明:采取x轴直线上的非齐次射影坐标,P,Q已是一组互逆对,它们关于原点对称。又，曲线Γ的方程决定了其与x轴的交点关于原点对称。根据笛沙格对合定理，四点形ABCD外接二次曲线与x轴的交点始终是某个对合的互逆对，而此对合已被前二组互逆对完全确定为关于原点中心对称，所以以上交点必也关于原点对称。反映在代数上，在经过ABCD的曲线系方程中令y=0得到一个关于横坐标的方程，这正是x轴上点列对合的代数表达。所以，所谓“一次项系数为零”绝非歪打正着，而是有着几何的深刻背景。或:P,Q坐标及曲线Γ的代数特征决定了一次项系数为零，也是不错的理解方法。
理解:曲线系与对合的内在一致性
例2.椭圆左端点A，作弦AQ，过A作AP⊥AQ交椭圆于P，求证:PQ过定点
证明:AP,AQ是一组线束对合互逆对(此对合由交换点A处垂直直线所确定)，射影到椭圆上就是P,Q是二次曲线上某个对合的互逆对，故PQ连线经过对合中心，即经过定点。
定性分析如此简洁，为什么定量计算时再用对合那一套不动直线极点极线之类就比曲线系麻烦得多了呢？这促使探求曲线系解法的几何本质。曲线系解法主要思路就是，利用AAPQ曲线系的两种表示，“算两次”，得到PQ满足的方程，从而得知定点坐标。看起来，过程与对合毫无关系。究竟有没有关系呢？Left for the reader as an exercise.
例3.直线AB,CD交二次曲线Γ于A,B,C,D,ABCD共圆，求证:直线AB,CD斜率之和为零
证明:分抛物线与椭圆、双曲线讨论，此处仅讨论后者情形。多次应用笛沙格对合定理可得无穷远直线上四组互逆对及其对合特征，以斜率代入交比表达式即得命题。
现在思考如何用曲线系解释上面的过程。命题共含两条二次曲线，一个简单四点形。考虑无穷远直线上的非齐次射影坐标(此处是齐次坐标里的第二个坐标分量)，彼两条二次曲线与无穷远直线交点的非齐次射影坐标互为相反数(圆，则±i，Γ，则化为齐次坐标，得到一个类似ax²=b的方程，与上同)，则此对合是取无穷远直线上的点的齐次坐标第二个坐标分量的相反数。两组互逆对确定一个对合，故四点形ABCD(点的顺序无关紧要)在无穷远直线上确定的对合同属此类。事实上，直线的斜率正是其上无穷远点的齐次坐标的第二坐标分量，所以命题成立(此处射影过程采用代数方式，反而使得证明更加统一)。
用曲线系解，得体现上面的对合性质。Γ与无穷远线交点属于彼对合，在一开始就为方程所决定(指标准方程)。圆与无穷远线，则式中xy一项为零。这样一来，对合被完全确定。事实上，曲线系就是这么解的。
例4.PAB,PCD为Γ割线，AD∩BC=Q,PQ∩Γ=E,F,求证:(PQEF)=-1
证明:从代数上考虑，由调和点列的性质，只需证1/PE+1/PF=2/PQ。乘上直线PQ倾斜角的余弦值，只需求出其横坐标(本质仍是直线PQ上的非齐次射影坐标)的表示。从几何上考虑，对四点形ABCD，直线PQ及Γ应用笛沙格对合定理，可得E,F为对合互逆对，且P,Q为对合不动点(均指直线PQ上的某个对合)，所以命题成立。参照前文使用笛沙格的经验，我们先表示经过ABCD四点的曲线系。当它退化为AD∪BC时，与直线PQ只有一个交点Q，也即联立后方程有唯一实解(这里说明一下，曲线系的参数可以放在二次曲线AB CD上，也可放在Γ上，此处采取前者，从而避免退化为AB∪CD)。至于E,F的横坐标，PQ与Γ联立应用韦达定理可得。
依然令曲线系方程化为特殊形式求解，与例1类似。
以上例子几乎全部与依赖直线非齐次射影坐标的点列对合有关，那么线束对合呢？其实也是依赖于它的，正如上述的斜率的射影解释。此处且举数例，望读者自行探究其曲线系解释。
例5.圆锥曲线等角性质
过P作Γ切线PX,PY交Γ于X,Y,焦点为A,B(如图为F₁，F₂)，求证:
(1)∠APX=∠BPY
(2)AP平分∠XAY(的外角)
注:…的相关部分指笛沙格对合定理
