这个式子要成立，要求gab，c=gac，b，这不是能一直做到的。比如会导致g00，1=g01，0=0，即加速度为零的情况。

四维写起来太麻烦，我就拿二维举个例子
Σαβ gαλ,β(dxᵅ/dτ)(dxᵝ/dτ)
=g0λ,0(dx⁰/dτ)(dx⁰/dτ)
+g0λ,1(dx⁰/dτ)(dx¹/dτ)
+g1λ,0(dx¹/dτ)(dx⁰/dτ)
+g1λ,1(dx¹/dτ)(dx¹/dτ)
……
Σαβ gβλ,α(dxᵅ/dτ)(dxᵝ/dτ)
=g0λ,0(dx⁰/dτ)(dx⁰/dτ)
+g1λ,0(dx⁰/dτ)(dx¹/dτ)
+g0λ,1(dx¹/dτ)(dx⁰/dτ)
+g1λ,1(dx¹/dτ)(dx¹/dτ)

　　(0,2)型张量的变换规律是：
T'ᵤᵥ=∑ᵢⱼ (∂xⁱ/∂x'ᵘ)(∂xʲ/∂x'ᵛ)Tᵢⱼ
　　静系{t,r,φ,z}和转盘系{t',r',φ',z'}坐标变换是：
t'=t
r'=r
φ'=φ-ωt　即φ=φ'+ωt'
z'=z
　　因此∂xⁱ/∂x'ᵘ的非零项有：
∂x⁰/∂x'⁰=∂t/∂t'=1
∂x¹/∂x'¹=∂r/∂r'=1
∂x²/∂x'⁰=∂φ/∂t'=ω
∂x²/∂x'²=∂φ/∂φ'=1
∂x³/∂x'³=∂z/∂z'=1
　　闵氏度规在静系{t,r,φ,z}是：
ds²=-c²dt²+dr²+r²dφ²+dz²
　　根据(0,2)型张量的变换规律，新度规的非零项是：
g'₀₀=(∂x⁰/∂x'⁰)²g₀₀+(∂x²/∂x'⁰)²g₂₂
　=ω²r²-c² =ω²r'²-c²
g'₀₂=g'₂₀=(∂x²/∂x'⁰)(∂x²/∂x'²)g₂₂
　=ωr² =ωr'²
g'₁₁=1
g'₂₂=r²=r'²
g'₃₃=1
　　因此闵氏度规在转盘系{t',r',φ',z'}是：ds²=
(ω²r'²-c²)dt'²+2ωr'²dt'dφ'+dr'²+r'²dφ'²+dz'²

　　用计算机算了下，转盘度规测地线的第1个方程的确是d²x⁰/dτ² =0
　　度规：
ds²=(ω²r²-c²)dt²+2ωr²dtdφ+dr²+r²dφ²+dz²
　　克氏符Γᵏᵢⱼ非零项：
Γ¹₀₀= -ω²r
Γ¹₀₂=Γ¹₂₀= -ωr
Γ¹₂₂= -r
Γ²₀₁=Γ²₁₀=ω/r
Γ²₁₂=Γ²₂₁= 1/r
　　测地线方程组：
【方程0】
d²x⁰/dτ² =0
【方程1】
d²x¹/dτ²+ Γ¹₀₀(dx⁰/dτ)²+2Γ¹₀₂(dx⁰/dτ)(dx²/dτ)+Γ¹₂₂(dx²/dτ)² =0
【方程2】
d²x²/dτ²+ 2Γ²₀₁(dx⁰/dτ)(dx¹/dτ)+2Γ²₁₂(dx¹/dτ)(dx²/dτ) =0
【方程3】
d²x³/dτ² =0

关于测地线的问题，我认为这个结论是正确的，t'或者说x0和τ确实是成正比的线性关系。关键在于在新坐标系｛t’，r’，φ’，z’｝中，虽然有坐标变换t’=t，但这里的t’意义已经变了，它绝不是地面惯性系的坐标时。而且由于新坐标系是转盘观者的随动坐标系，因此它基本上可以看做转盘观者的固有坐标系（也就是说这个新的坐标系和转盘观者的正交归一四标架是重合或者平行的），因此这个新坐标t’基本就代表了观者的固有时。
所谓随动观者，就是说观测者认为自己是相对于参考系静止的，在属于观测者自己的坐标系看来，它的世界线应该是这个坐标系的一条竖直线，这是因为它在自己的参考系中是相对静止的，没有空间上的运动，唯一可能的运动就是是时间的流逝。换句话说，它的四速一定是类似于（1，0，0，0）这种形式的（也可以不是1，因为很多时候做不到完全归一化），那么我们来看新坐标系下转盘观者的四速是不是上面这个形式。由于坐标变换已经给出了，通过矢量间的坐标变换可以很容易地从地面静止坐标系中的转盘四速变换到转盘观者随动坐标系中的转盘四速，而地面参考系的转盘四速也是容易写出的，因为只有 φ方向上的一维运动，对于转盘我们只研究其边缘，r取常数R，所以四速的形式是（γ, 0 ,γω ,0）类似于一维直线运动。（γ代表洛伦兹因子，这里采用角速度而不是线速度的写法，把R直接吸收到坐标基里，所以看上去四速没有归一化，其实没有影响）
变换后发现新坐标系｛t’，r’，φ’，z’｝中观者的四速确实变为了(γ，0，0，0)的形式，其中γ是常数，表明观者的运动只有时间维的流逝，而空间上没有运动。因此新坐标系｛t’，r’，φ’，z’｝确实是转盘观者的随动坐标系，新坐标t’也确实正比于固有时τ（虽然没有归一化）。

　　说到t'的意义，我倒是有的点不成熟的想法……不成熟是因为我也讲不清t'是啥，但能掰扯一下t'不是啥，另外也能掰扯一下为什么静系的t和τ是线性的
　　正如史瓦西度规中的r虽然名为“半径”，但并不代表点到圆心距离，R=∫₀ʳ (√gᵣᵣ)dr才代表距离
　　转盘系中，t'也并不代表点A=(t',r',φ',z')距离原点的时间……那真正的时间怎么求？首先要在原点处建立一个同时面Σₜ,₌₀，再在这个面上找到点B=(0,r',φ',z')，转盘系观者认为事件AB间隔的时间就是T=∫₀ᵗ' (√g'ₜₜ)dt'（因为从转盘系看，点B没有空间运动，随着时间流逝自然移动到点A）
　　当然转盘系还有一个问题，同时面Σₜ,₌₀根本建立不起来，因为g'ₜᵩ项不为0，沿不同路径对钟的结果不一致……换句话说，如果曲线C是一条测地线，上面有两个点C1、C2，我们当然可以算出两个点间的线长（固有时），但我们没有一个“自洽的定义”，来定义出转盘系观者眼中的C1、C2的时间差
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　　总之结论是：只把t'当成一个没有多少特别意义的坐标时就好😂，x'⁰的测地线方程，也就只是一个表示了参数τ和坐标x'⁰关系式而已
　　最后说一下书上这段话我理解的意思：转盘系建立不了同时面……如果强行规定t'相等的点同时的，那这个同时面就和世界线斜交了，会出现本该“和原点相对静止”的本系观者，发现自己有空间位移这种奇葩情况