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数学大题送到

（1）∵y=ax2-4ax+4a+c=a（x-2）2+c，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、点B，点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），OB=3．
可得该抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴OC=3，点C的坐标为（0，3）．
将点C（0，3）代入该解析式y=a（x-1）（x-3）．
解得a=1．
∴此抛物线的解析式为y=x2-4x+3．（如图1）
（2）作△ABC的外接圆⊙E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设⊙E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点P1，点P1关于x轴的对称点为点P2，点P1、点P2均为所求点．（如图2）
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x=2上．
∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠AP1B=∠ACB，且射线FE上的其它点P都不满足∠APB=∠ACB．
由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=x上．
∴点E的坐标为E（2，2）．
∴由勾股定理得 EA=
5
．
∴EP1=EA=
5
．
∴点P1的坐标为P1（2，2+
5
）．
由对称性得点P2的坐标为P2（2，-2-
5
）．
∴符合题意的点P的坐标为P1（2，2+
5
）、P2（2，-2-
5
）．
（3）∵点B、D的坐标分别为B（3，0）、D（2，-1），
可得直线BD的解析式为y=x-3，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．
∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A'，（如图3）
若设AA'与∠AQB的平分线的交点为M，
则有 QA=QA'，AM=A'M，AA'⊥QM，Q，B，A'三点在一条直线上．
∵QA-QB=
2
，
∴BA'=QA'-QB=QA-QB=
2
．
作A'N⊥x轴于点N．
∵点Q在线段BD上，Q，B，A'三点在一条直线上，
∴A'N=BA'•sin45°=1，BN=BA'•cos45°=1．
∴点A'的坐标为A'（4，1）．
∵点Q在线段BD上，
∴设点Q的坐标为Q（x，x-3），其中2＜x＜3．
∵QA=QA'，
∴由两点间的距离公式得 （x-1）2+（x-3）2=（x-4）2+（x-3-1）2．
解得x=
11
4
．
经检验，x=
11
4
在2＜x＜3的范围内．
∴点Q的坐标为Q（
11
4
，-
1
4
）．
此时S△QAA'=S△A'AB+S△QAB=
1
2
•AB•（|yA'|+|yQ|）=
1
2
×2×（1+
1
4
）=
5
4
．