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不等式顾名思义就是含有不等号的式子，而不等号是用来表示两个量之间的不等关系的。对于任意两个不等量，可以有≤ ≥ ≠三种关系，在此基础上的数学证明以及运算，便是我们高中阶段乃至以上要学习的不等式了。

高中阶段所要掌握的不等式知识其实很简单，主要有以下方面：
1.不等关系的认识以及符号的使用；
2.不等式的证明及应用；
3.著名的不等式。
而在这里我们所要讲的就是2和3。

I 不等式的证明
不等式证明就是从已知的条件推出不等关系的过程，推而广之到运用不等式知识证明数列，函数的最值等等，都属于不等式证明的范围。而最最基本的思路主要有两点：由因到果和执果索因——这也正是高中课本中学到的两种方法，综合法和分析法。
这两种方法其实正是两种思路，综合法是由条件导向结论，而分析法是从想要证明的命题出发，通过一系列的方法还原为已知条件 ，从而证明这个命题。而一般说来：分析法更符合人的思维过程。

I 不等式的证明
不等式证明就是从已知的条件推出不等关系的过程，推而广之到运用不等式知识证明数列，函数的最值等等，都属于不等式证明的范围。而最最基本的思路主要有两点：由因到果和执果索因——这也正是高中课本中学到的两种方法，综合法和分析法。

这两种方法其实正是两种思路，综合法是由条件导向结论，而分析法是从想要证明的命题出发，通过一系列的方法还原为已知条件 ，从而证明这个命题。而一般说来：分析法更符合人的思维过程。

例：已知x，y∈R+，且x+y=1，求证xy≤1/
解一：综合法：已知x，y∈R+， x+y=1
∴√(xy)≤(x+y)/2=1/2
∴xy≤1/4
原不等式得证。

解二：分析法：要证明xy≤1/4
只需要证明 √(xy)≤1/2
又已知x+y=1
所以即证明√(xy)≤(x+y)/2…………………………①
又已知x，y∈R+，
由基本不等式显然①式成立
所以原不等式得证。

从上面同一道题的两种思维方式可以看出来综合法和分析法各有利弊：综合法更加简洁明快，而分析法更加接近人思考问题的方式。

而除了综合法和分析法之外，又有比较法（分为作差和坐商两种）、放缩法、反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（构造函数、构造图型等），下面我们一一进行了解。

1.1 比较法 比较法是对于下面这样的题目而言的：已知不等号两边的式子A和B，比较他们的大小；或者是证明A>B(A<B)。保证这样的方法正确是由于不等式的加法原理和乘法原理。而一般的步骤是，作差（商），变形，和零比较大小，得出结论。

例1：证明x^2+3>3x
证明： (x^2+3)-3x …………………………作差
=x^2-3x+3
=(x-3/2)^2+3/4…………………………变形（这里用配方）
>0……………………………………… 和0比较大小
∴x^2+3>3x 原不等式得证

而作商法和作差法类似，只是用式A除以式B，形成一个分式A/B，并用这个分式和1比较，得出大小关系，进一步得出A与B的大小关系。在此不再赘述。

1.2构造法
1.2.1 构造图形法 其实构造图形的方法在初中的时候大家都已经见过，比如说著名的勾股定理，就是运用图形的方法证明的，而且不止一种。而在这里我们谈到的只是把等式变为不等式而已。（图片来自于网络，如图是一些著名的勾股定理的图形证明方法）