同态与同构

先给出定义：称两个群同态，若存在一个映射（称为同态映射）可以保持群的运算。f(ab)=f(a)f(b)
若同态映射是一个双射，称为同构。
举个例子：R是全体实数的加法群，R+是全体正实数的乘法群。定义R到R+的映射f，f(a)=2^a
由于f(a+b)=2^(a+b)=2^a2^b，所以f保持运算，是一个同态映射。
进一步，f还是双射。从而f是同构。
同构将单位元变为单位元，将逆元变为逆元。
同态的核：群G与H同态，f为其同态映射，e是H的单位元。集合K={g|f(g)=e}为f的核。
说白了，核就是能够被映射f变成单位元的元素。
举个例子：
刚才给出的R到R+的同构映射f的核：R+是全体正实数的乘法群，单位元是1。只有2的0次方才是1，所以f的核只有一个元素：单位元0
这个例子中同构映射f的核是单位元并不是偶然的，只要是同构，核都是单位元。
另外核是单位元可以推出同态是单射。如果已经证明了是满射，那么就可以得出映射是同构。