二楼我的

数列极限的定义:
设x[n]表示一个有无限项的数列
那么数列x[n]以A为极限(也称数列x[n]收敛于A)的定义为:
若存在一个数A，使得对任意的正数ε，都存在一个正整数N，使得只要正整数n>N，就有|x[n]-A|<ε.

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快更太监啥

今天暂时跳到定积分。

定积分的定义(Rieman积分):
设函数f(x)在闭区间[a,b]有定义.
设有限数列{x[k]}(0≤k≤n)是区间[a,b]的任意一个分划，即:a=x[0]<x[1]<…<x[n]=b.
记λ=max{x[k]-x[k-1]}.
记Δx[k]=x[k]-x[k-1].
设ξ[k]为闭区间[x[k-1],x[k]]内的任意一个实数.
称和∑(k=1;k≤n;k++)f(ξ[k])Δx[k]为积分和.
考查λ→0时的极限,当极限lim(λ→0)∑(k=1;k≤n;k++)f(ξ[k])Δx[k]存在时,称这个极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记做∫[a,b]f(x)dx=lim(λ→0)∑(k=1;k≤n;k++)f(ξ[k])Δx[k]

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例:判断定积分∫[0,1]sin x dx的可积性,如果可积,求该定积分.
引理:
①2{sin(a+b)/2}{sin(a-b)/2}=cos b-cos a
②0≤x-sin x≤x²/2 (x>0)
③|sin x-sin y|≤|x-y|
设{x[k]}(0≤k≤n)是区间[0,1]的任一分划
ξ[k]∈[x[k-1],x[k]]
做积分和:
∑(k=1;k≤n;k++)(sin ξ[k])Δx[k]
∵函数sin x在[0,1]单调递增
∴sin x[k-1]≤sin ξ[k]≤sin x[k]
∴∑(k=1;k≤n;k++)(sin x[k-1])Δx[k]
≤∑(k=1;k≤n;k++)(sin ξ[k])Δx[k]
≤∑(k=1;k≤n;k++)(sin x[k])Δx[k]④
对④右边，有:
sin x[k](x[k]-x[k-1])
=2(sin x[k])(x[k]-x[k-1])/2
=2(sin x[k])(sin(x[k]-x[k-1])/2)
+2(sin(x[k])){(x[k]+x[k-1])/2-sin(x[k]-x[k-1])/2}
=2(sin(x[k]+x[k-1])/2)(sin(x[k]-x[k-1])/2)
+2{(x[k]+x[k-1])/2-sin(x[k])}{sin(x[k]-x[k-1])/2}
+2(sin(x[k])){(x[k]-x[k-1])/2-sin(x[k]-x[k-1])/2}
≤(cos x[k-1]-cos x[k])
+(x[k]-x[k-1])(x[k]-x[k-1])/2
+2{(x[k]-x[k-1])/2}²
=(cos x[k-1]-cos x[k])+(5/8)(x[k]-x[k-1])²
≤(cos x[k-1]-cos x[k])+λ(x[k]-x[k-1])
∴∑(k=1;k≤n;k++)(sin ξ[k])Δx[k]
≤∑(k=1;k≤n;k++)(sin x[k])Δx[k]
≤∑(k=1;k≤n;k++){(cos x[k-1]-cos x[k])+λ(x[k]-x[k-1])}
=cos 0-cos 1+λ=1-cos 1+λ
同理，对不等式④左边也可以得到:
∑(k=1;k≤n;k++)(sin ξ[k])Δx[k]
≥∑(k=1;k≤n;k++)(sin x[k-1])Δx[k]
≥1-cos 1-λ
综上所述，有:
1-cos 1-λ≤∑(k=1;k≤n;k++)(sin ξ[k])Δx[k]≤1cos x+λ
由夹挤定理知:
lim(λ→0+)∑(k=1;k≤n;k++)(sin ξ[k])Δx[k]=1-cos 1

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