又想到一个相关问题，解决掉再说

好，顺手干掉

先来第一个问题
对于小o记号的补充，用于下面描述问题方便
哎在老家没办法打公式啊。。
引入"恰"o(x^n)的概念，是指
如果f是恰o(x^n)的，则f是o(x^n),但对于数集F当中的任意正元e(自行脑补成varepsilon)，有f不是o(x^(n+e))
第一个问题
第一问，令F=R，是否存在这样的f
第二问，f是o(x^(n-e))但不是o(x^n)

这是极其容易的，只需要注意到对于指数为负的幂函数而言
lnx
f=x^n /ln x
f=x^n *ln x
分别构成了一二问的答案
自然lnx不是最低阶的无穷大，更低的还有lnlnlnlnlnln(1/x)，但永远不是最低，但我在这儿也不想扯大数，话说有人考虑过以缓慢为目的的大数么。。

以下正文再提到恰，一律指的是以F为Z的恰

再补一句，以下谈论连续性可导性均指的是x=0处的性态
尽管多数时候是全局连续而可导的。。
第二个问题
o(x^n)
连续吗
可导吗
能够恰几阶可导(采用类似方法定义这个恰)
如果是恰o(x^n)，那么可以恰几阶可导呢

连续是别想了，小o记号只是说商趋于0罢了，对于x=0处毫无规定，未必连续
可导以连续为前提，因此也未必可导，但是一旦连续，容易证明0处的确存在导数，就是0，套定义即可
恰一阶的例子，x^(n+1)*D(x)，这里D(x)是Dirichlet函数，这容易证明
恰两阶，似乎不好想，考虑另一个震荡的函数，这个要比D大爷温和一些
y=x^(n+1)*sin(1/x)，容易证明k阶求导之后，最低阶的项x的指数为n+1-2k
考虑到要吸收掉震荡项，故如果恰k阶可导，则k-1此求导后次数要比1大
那么n+1-2(k-1)>1，得k<n/2+1
现在的这个f，已经满足了恰o(x^n)，但它的可导阶数只有一个，这很自然的让人想改造它，因为我很自然的认为这个阶数至少是可以为1～n之间的任意数
f=x^(n+1)*sin(1/x^m)，这里m>0，不然就不震荡了，不喜欢呢
类似的进行计算，得到k<n/(m+1)+1时，k阶可导
对于k为1～n之间的任意数，总可选取适当的m，使得f恰k阶可导
很好，现在恰o(x^n)已经可以不可导，恰1～n阶可导了
对于大于n是否成立呢
笔者最初以为是不行的，想进行反证，于是应用麦克劳林展开以及皮亚诺余项
比如恰n+1阶可导，可得f=a(n+1)*x^(n+1)+o(x^(n+1))
这就要求o(x^(n+1))是恰n+1阶可导，这当然可以
于是我意识到大于n当然可行
只要选取一个恰o(x^k)的恰k阶可导函数，把它加上x^(n+1)，就得到了k>n时候的解
至此，对于k为自然数，都存在f使得f为恰o(x^n)且f恰k阶可导(k=0视作不可导,这好像不是很自然)
自然，对于F=R的情况，同样也是有解的，考虑x^n/lnx *乱七八糟震荡项，即可
由于lnx求导对于x幂次的降低同样是1，因此乘法公式中它的求导和x^n的求导，对于无穷小阶数的影响都是一样的(已经说过1/lnx是很低的无穷小量)
md旁边小孩真吵，幸亏我差不多写完了