三十八个吧 关注:3贴子:174
  • 4回复贴,共1
小议结式。
高等代数学p88。把ab替换为XY的对应式,得某多项式,多项式代入唯一析因整环多元多项式形式环元素X=x Y=y,得一多项式,命xn=yi,则知视其为xn的多项式时有根yi,便得到分解式。
对于Xb的形式矩阵对应的行列式多项式,在复数域C上总能表b为y,所以得出Xb的分解式。行列式多项式和分解式的取值总是一样的。
如果无穷域上两多元项式在相当多时候取值一样,必相同。因为对于一组确定的x1到x n-1,只要对充分多的xn多项式为零,就说明各系数为零。那么很多组下用归纳法。
于是在C上的Xb分解式成立,这个展开其实只涉及了域上的整数 所以对任何域都成立。
强行展开xy式也有技巧,类似循环矩阵,乘以各列向量为x^(m+n-1),…,1; y^(m+n-1),…,1这样的范德蒙矩阵,可以得到一个容易处理的对角矩阵,然后约分,因为多元多项式环无零因子。


来自Android客户端1楼2017-05-15 20:11回复
    高等代数p109例4.17的实质。考察对于Fribenius的对应定理。
    首先秩等式成立等价于BC和B有相同的核。
    我们有不同于题中的打洞方法。通过列变换把BC变为包含核的无关组,把B变为包含BC的无关组,则核对应的上方AB为零,用BC把B的核消掉,再恢复为AB,BC即可。
    如果矩阵(X 0,C Y)与(X 0,0 Y)同秩,必可用X的行向量和Y的列向量消掉C,因为取X的最大非零子式,用对应的行消掉C对应的列,Y同样,则犁过的C无非零元,否则该元对应的列无法用X,Y的对应列表示(考察子式也可以看出)。


    来自Android客户端2楼2017-05-29 08:35
    回复
      列向量B可以用列变换X变为一个极大无关组,这个变换对B可逆,既B=BXY。把BC的核正交分解,正交扩充为BC(BCQ),正交扩充为B,正交补充A的剩余部分。对A行变换为如上基(PA),则AB同变换。用对B可逆的列变换把B变为如上基(事后同时右乘逆矩阵即可变回来),AB变为A的正交基乘以B的正交基,为(0 I,0 0),可以用BC的正交基和I给BX打洞。既UPABX+BCQV=BX,左右同乘以Y即可。


      来自Android客户端3楼2017-05-29 09:21
      回复
        高等代数学p177。思路很清楚,对每个向量有一个等式λα_j-∑a_ij α_i=0。共n个等式。若∑g_i(λ)α_i=0则必可由这些等式乘以适当系数求和,因为只要反复对λ的最高次减以对应式的倍数降次即可。特别的,h(λ)α_i=0也是。事实上乘以伴随矩阵即可得到公共的一个H(λ),即做适当行变换。
        另一思路是高等代数与解析几何p243。这用了矩阵计算的手法,适用性略弱。两种方法形式相似但思路完全不同,公共处在若有K(λI-A)=f(λ)I,则命题成立。


        来自Android客户端4楼2017-06-20 21:07
        回复
          高等代数学p142 36的方法。任意F上不可约多项式,若在某扩域G上有根a,则F(a)上元素可和里E上元素一一对应,同构。F上任意多项式在E和F(a)上的分解一样(展开即可)。则p_i在E上得到了新的分解和若干根,与F(a)上的分解同构。这个分解可以一直进行至遍历f所有根,所以总有扩域有所有根。任意一个扩域G,设其有根{a_j},则考察{F,a_j}的闭包。先取扩张F(a_1),历若干根,和若干不可约多项式,得E_1。再取剩余某根,它使对应不可约多项式为零,对该多项式扩张。一直扩张至E_k,它是域,也是闭包(互相包含),和F(b_1=a_1)(b_2)…(b_k)同构。这也说明,任意包含所有根的扩域的根的闭包同构。


          来自Android客户端5楼2017-06-21 06:22
          回复