编程计算,应该不成问题。
否则,得出所以解,不容易。
得出一组解,抛砖引玉:
a^4+b^4+c^4+d^4=1000a+100b+10c+d<=9999 ......(1)
a、b、c、d中,如有一个为9,其余均<=7,因为9^4+8^4=10657>9999;当a、b、c、d
一个为9,一个为7是,其余最大一个<7
式(1)即为:999a+99b+9c=(a^4-a)+(b^4-b)+(c^4-c)+(d^4-d) ......(2)
由于k^4-k=k(k^3-1)=k(k-1)(k^2+k+1),当k=3m+1,k^4-k为9整除。
(2)中设a=9,b、c、d有一个7具有3m+1形式,
一、如另外两个也具有3m+1且小于7,只能是1、4,只有(1,1),(1,4),(4,4)三种
1、9^4+7^4+1^4+1^4=8964,不合题意
2、9^4+7^4+1^4+4^4=9219,不合题意
3、9^4+7^4+4^4+4^4=9474,a=9,b=4,c=7,d=4
二、如另外两个中的一个具有3m+1,9/k(k-1)(k^2+k+1),要么k=9>7不可能;
9/k+1,k=8>7,不可能
三、如另外两个均具有3m,9/k(k-1)(k^2+k+1)+r(r-1)(r^2+r+1),9/k+r,3/k,3/r
只有k=3,r=6(或k=6,r=3) ,9^4+7^4+3^4+6^4=10336>9999,非解;
如k=3m,r=3n-1,r(r-1)(r^2+r+1)不为3整除,不可能
四、另外两个中的一个具有3m-1,把k3m-1,r=3n-1代入
k(k-1)(k^2+k+1)+r(r-1)(r^2+r+1)知不为9整除。不可能。