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反射枚举函数ξ

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ξ函数是一种枚举反射序数的多元函数,一开始出现了一个小问题,后来Gomen提醒了我之后我给改了回来。目前它的极限是Π_ω reflecting。我现在正在尝试将它放入ocf里变成一个真正的大数记号,下面是它的展开规则:
1.ξ(n)=ω^n
2.(1,0)结构表示a→ξ(a)的不动点,下一个不动点是(1,1),(2,0)表示a→ξ(1,a)的不动点,以此类推。类比于φ(a,b,...),我们有(a,b,...)等
2.先找整个ξ(......)里最右边的(1),如果有,则它折叠出下一层不带ξ的括号的(a,b,....)。如果是(n) n>1,则将(n)减去1,然后在最右边加上(1),折叠出(n–1),a,b,...
3.当从任意逗号所在层的左右两边的结构相等时,它等效于将逗号右边的东西删除,然后在左边的最底层最右项加1。比如ξ(((2),3),((2),3),0)=ξ(((2),4),0)
4.如果逗号左右的部分都是纯粹(n)的结构,则不满足规则3。
5.在ξ(......,n)到ξ(......,n+1)之间的部分遵循φ函数的枚举规则,即后者为下一个结构为前者的点。比如ξ((3),6,8)是ξ((3),6,7)之后的下一个ξ((3),6,0)点/极限
下面是这个函数的分析:


IP属地:北京来自Android客户端1楼2022-03-19 22:37回复


    IP属地:北京来自Android客户端3楼2022-03-19 22:40
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      IP属地:北京来自Android客户端4楼2022-03-19 22:41
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        IP属地:北京来自Android客户端5楼2022-03-19 22:41
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          然后ξ((((1,0),0),0),0)对应Π_3–^(1,0)
          ξ(((((1),0),0),0),0)对应Π_4
          一直这么下去,ξ(((...),0),0)就到了Π_n反射的极限了。
          可以看到,这个极限类似于BHO,即迭代幂次数阵。如果把ξ((a),0)类比成ξ(0,a),然后再这样循环一遍,这就是3 dropping的极限,然后再如法炮制,不断循环,一直到最后就是ω dropping。但是我担心这里会出现一些问题。不过我现在还是关心如何将它放入到ocf里,毕竟多元函数的部分可以起到表示递归序数的作用。


          IP属地:北京来自Android客户端7楼2022-03-19 22:45
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            IP属地:北京来自Android客户端9楼2022-03-19 22:47
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              规则2、3、4应该统一,统一成原来的(n)=(n-1)(n-1)也可以,只是不常见。
              (n)可以折叠出(n-1)(n-1)...(n-1),或(n)=(n-1)(n-1)...(n-1),共ω个,这两种用法比较多。
              我枚举一些东西,看看能不能帮你提供一些思路:
              (1)=2
              (1)(1)=2 1-2
              (1)(1)(1)=2 1-(2 1-2)
              后面每加一个(1),就是原来序数的admissible极限
              (2)折叠出(1)(1)...(1),所以:
              (2)=2-2
              (2)(1)=2 1-2-2
              (2)(2)=2-2 1-2-2
              (2)(2)(2)=2-2 1-(2-2 1-2-2)
              后面第增长一个(2),就是原来序数的mahlo极限
              (3)=2-2-2
              (4)=2-2-2-2
              ((1))折叠出(x)的迭代,
              ((1))=3
              ((1))(1)=2 1-3
              ((1))(2)=2-2 1-3
              ((1))(3)=2-2-2 1-3
              ((1))((1))=3 1-3
              ((1))((1))((1))=3 1-(3 1-3)
              ((1)1)=2-3
              ((1)1)((1)1)=2-3 1-2-3
              ((1)2)=2-2-3
              ((1)3)=2-2-2-3
              ((1)(1))=3 2-3
              规律非常和谐,后面加速了:
              ((2))=3-3
              ((2)1)=2-3-3
              ((2)(1))=3 2-3-3
              ((2)(2))=3-3 2-3-3
              ((3))=3-3-3
              ((4))=3-3-3-3
              (((1)))=4
              (((2)))=4-4
              ((((1))))=5
              ......


              IP属地:湖南10楼2022-03-20 09:55
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