这个是古人给的吗？合理怀疑一手是计算机拟合的

盲猜积分近似值

还有这个呢，是咋推导出来的@贴吧用户_78XteQa

楼主虽然不知道咋来的，但知道精度很好，当然是分析别人的公式后知道精度的

椭圆的周长不应该用线积分算吗

我有时候也需要用到椭圆周长，之前一直在用matlab积分后来发现在cad里画一下他可以自动显示周长

某个可以描述椭圆周长的积分的某种展开式，一般都是这么来的，拉马努金除外。

盲猜一手拉玛努金搞得活儿。
至于为什么对，怎么搞出来的，大概梦里欧拉托梦给他的吧

这个又是怎么来的，日文wiki没有后面那坨，我更在意那里。

那个连分数截断本质上是Padé近似的一个特殊情况。
至于连分数的算法本身其实蛮简单的。首先，一个幂级数的常数项如果不为零，那么通过待定系数法可以依次求出其倒数的幂级数展开的系数；其次，连分数的系数也可以通过待定系数法一步步解出来。
比如这里f0(h)=1+(1/4)h^1+(1/64)h^2+(1/256)h^3+...=a0+h/(a1+...)，那么a0=1
(f0(h)-a0)/h=(1/4)+(1/64)h^1+(1/256)h^2+(25/16384)h^3+...=1/(a1+h/(a2+...))
常数项不为零，可以求出其倒数：
f1(h)=h/(f0(h)-a0)=4-(1/4)h^1-(3/64)h^2-(9/512)h^3+...=a1+h/(a2+...)，于是a1=4
(f1(h)-a1)/h=-(1/4)-(3/64)h^1-(9/512)h^2-(141/16384)h^3+...=1/(a2+h/(a3+...))
f2(h)=h/(f1(h)-a1)=-4+(3/4)h^1+(9/64)h^2+(15/256)h^3+...=a2+h/(a3+...)，a2=-4
f3(h)=h/(f2(h)-a2)=(4/3)-(1/4)h^1-(11/192)h^2-(59/2304)h^3+...=a3+h/(a4+...)，a3=4/3
于是算出来a0到a10是：
1, 4, -4, 4/3, -4,12/11,-484/115, 158700/160897, -855796516/193997065, 11382944795044/12329421191025, -12631424435952100/2750978563471297
当然这些玩意全是交给电脑算的。

27楼的精度不行，没有这个好

后面那部分pade逼近吧

趴的近似？