要推翻官科,就必须先了解官科,知己知彼,方能百战百胜。本贴将介绍官科定义下的实数公理体系,以便于各位民科大神找出官科的致命缺陷
一 近世代数内容
⑴群的定义:
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G
其中有如下几条性质:①结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
②任意a∈G,存在e∈G,令a*e=e*a=a,e叫作单位元(幺元)
③任意a∈G,存在a ^-1,令a*(a^-1)=(a^-1)*a=e,a^-1叫作a的逆元
④交换律:任意 a,b ∈G,有a*b=b*a
若〈G,*〉满足①则称G对*构成半群;满足①②则称G对*构成幺半群;满足①②③则称G对*构成群,上述四条性质全部满足则称G对*构成阿贝尔群
⑵群的一些性质:
①群的单位元唯一
证明:设e,i是群G的两个单位元,则有e=e*i=i
②对于任意a∈G,a的逆元唯一
证明:设m,n是a的两个逆元,则有m=m*e=m*(a*n)=(m*a)*n=e*n=n
③任意a∈G,(a^-1)^ -1=a
证明:由定义可知a*(a^-1)=(a^-1)*a=e,所以a是a^-1的逆元
④a*b=a*c→b=c(左消去律)
证明:两侧同时左乘a的逆元即可,同理可证明下面的右消去律
⑤b*a=c*a→b=c(右消去律)
证明略
⑥(a*b)^ -1=(b^-1)*(a^-1)
证明:[(a*b)^-1]*(a*b)=e=(b^-1)*b=(b^-1)*e*b=(b^-1)*(a^-1)*a*b,此时根据消去律即得证
⑦任意a,b∈G,方程x*a=b与a*y=b在G中都有解
证明:x*a=b,则同时右乘a的逆元可得x=b*(a^-1),另一个同理
⑶群的等价定义:
①群的单边定义
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G 若满足如下性质:
ⅰ结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
ⅱ任意a∈G,存在e∈G,令e*a=a,e叫作左单位元(左幺元)
ⅲ任意a∈G,存在a ^-1,令(a^-1)*a=e,a^-1叫作a的左逆元
则称G对*构成一个群(若改为右逆元与右幺元也可行)
②群的除法定义
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G 若满足如下性质:
ⅰ结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
ⅱ任意a,b∈G,方程x*a=b和a*y=b在G中都有解
则称G对*构成一个群
下面证明单边定义与原定义等价
显然原定义可推出单边定义成立,故只需从单边定义推出原定义即可
超字数了,楼下细说
一 近世代数内容
⑴群的定义:
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G
其中有如下几条性质:①结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
②任意a∈G,存在e∈G,令a*e=e*a=a,e叫作单位元(幺元)
③任意a∈G,存在a ^-1,令a*(a^-1)=(a^-1)*a=e,a^-1叫作a的逆元
④交换律:任意 a,b ∈G,有a*b=b*a
若〈G,*〉满足①则称G对*构成半群;满足①②则称G对*构成幺半群;满足①②③则称G对*构成群,上述四条性质全部满足则称G对*构成阿贝尔群
⑵群的一些性质:
①群的单位元唯一
证明:设e,i是群G的两个单位元,则有e=e*i=i
②对于任意a∈G,a的逆元唯一
证明:设m,n是a的两个逆元,则有m=m*e=m*(a*n)=(m*a)*n=e*n=n
③任意a∈G,(a^-1)^ -1=a
证明:由定义可知a*(a^-1)=(a^-1)*a=e,所以a是a^-1的逆元
④a*b=a*c→b=c(左消去律)
证明:两侧同时左乘a的逆元即可,同理可证明下面的右消去律
⑤b*a=c*a→b=c(右消去律)
证明略
⑥(a*b)^ -1=(b^-1)*(a^-1)
证明:[(a*b)^-1]*(a*b)=e=(b^-1)*b=(b^-1)*e*b=(b^-1)*(a^-1)*a*b,此时根据消去律即得证
⑦任意a,b∈G,方程x*a=b与a*y=b在G中都有解
证明:x*a=b,则同时右乘a的逆元可得x=b*(a^-1),另一个同理
⑶群的等价定义:
①群的单边定义
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G 若满足如下性质:
ⅰ结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
ⅱ任意a∈G,存在e∈G,令e*a=a,e叫作左单位元(左幺元)
ⅲ任意a∈G,存在a ^-1,令(a^-1)*a=e,a^-1叫作a的左逆元
则称G对*构成一个群(若改为右逆元与右幺元也可行)
②群的除法定义
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G 若满足如下性质:
ⅰ结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
ⅱ任意a,b∈G,方程x*a=b和a*y=b在G中都有解
则称G对*构成一个群
下面证明单边定义与原定义等价
显然原定义可推出单边定义成立,故只需从单边定义推出原定义即可
超字数了,楼下细说