要推翻官科，就必须先了解官科，知己知彼，方能百战百胜。本贴将介绍官科定义下的实数公理体系，以便于各位民科大神找出官科的致命缺陷
一 近世代数内容
⑴群的定义:
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“＊” ＊：G×G→G
其中有如下几条性质:①结合律:任意a,b,c∈G有（a*b）*c=a*（b*c）
②任意a∈G，存在e∈G,令a*e=e*a=a，e叫作单位元（幺元）
③任意a∈G，存在a ^-1，令a*(a^-1)=(a^-1)*a=e，a^-1叫作a的逆元
④交换律：任意 a,b ∈G，有a*b=b*a
若〈G,*〉满足①则称G对*构成半群；满足①②则称G对*构成幺半群；满足①②③则称G对*构成群，上述四条性质全部满足则称G对*构成阿贝尔群
⑵群的一些性质:
①群的单位元唯一
证明:设e,i是群G的两个单位元，则有e=e*i=i
②对于任意a∈G，a的逆元唯一
证明:设m,n是a的两个逆元，则有m=m*e=m*(a*n)=(m*a)*n=e*n=n
③任意a∈G，(a^-1)^ -1=a
证明:由定义可知a*(a^-1)=(a^-1)*a=e，所以a是a^-1的逆元
④a*b=a*c→b=c（左消去律）
证明:两侧同时左乘a的逆元即可，同理可证明下面的右消去律
⑤b*a=c*a→b=c（右消去律）
证明略
⑥（a*b）^ -1=（b^-1）*（a^-1）
证明:[(a*b)^-1]*(a*b)=e=（b^-1）*b=(b^-1)*e*b=(b^-1)*(a^-1)*a*b，此时根据消去律即得证
⑦任意a,b∈G，方程x*a=b与a*y=b在G中都有解
证明:x*a=b，则同时右乘a的逆元可得x=b*(a^-1)，另一个同理
⑶群的等价定义:
①群的单边定义
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“＊” ＊：G×G→G 若满足如下性质:
ⅰ结合律:任意a,b,c∈G有（a*b）*c=a*（b*c）
ⅱ任意a∈G，存在e∈G,令e*a=a，e叫作左单位元（左幺元）
ⅲ任意a∈G，存在a ^-1，令(a^-1)*a=e，a^-1叫作a的左逆元
则称G对*构成一个群（若改为右逆元与右幺元也可行）
②群的除法定义
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“＊” ＊：G×G→G 若满足如下性质:
ⅰ结合律:任意a,b,c∈G有（a*b）*c=a*（b*c）
ⅱ任意a,b∈G，方程x*a=b和a*y=b在G中都有解
则称G对*构成一个群
下面证明单边定义与原定义等价
显然原定义可推出单边定义成立，故只需从单边定义推出原定义即可
超字数了，楼下细说