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一些近世代数内容与实数

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要推翻官科,就必须先了解官科,知己知彼,方能百战百胜。本贴将介绍官科定义下的实数公理体系,以便于各位民科大神找出官科的致命缺陷
一 近世代数内容
⑴群的定义:
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G
其中有如下几条性质:①结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
②任意a∈G,存在e∈G,令a*e=e*a=a,e叫作单位元(幺元)
③任意a∈G,存在a ^-1,令a*(a^-1)=(a^-1)*a=e,a^-1叫作a的逆元
④交换律:任意 a,b ∈G,有a*b=b*a
若〈G,*〉满足①则称G对*构成半群;满足①②则称G对*构成幺半群;满足①②③则称G对*构成群,上述四条性质全部满足则称G对*构成阿贝尔群
⑵群的一些性质:
①群的单位元唯一
证明:设e,i是群G的两个单位元,则有e=e*i=i
②对于任意a∈G,a的逆元唯一
证明:设m,n是a的两个逆元,则有m=m*e=m*(a*n)=(m*a)*n=e*n=n
③任意a∈G,(a^-1)^ -1=a
证明:由定义可知a*(a^-1)=(a^-1)*a=e,所以a是a^-1的逆元
④a*b=a*c→b=c(左消去律)
证明:两侧同时左乘a的逆元即可,同理可证明下面的右消去律
⑤b*a=c*a→b=c(右消去律)
证明略
⑥(a*b)^ -1=(b^-1)*(a^-1)
证明:[(a*b)^-1]*(a*b)=e=(b^-1)*b=(b^-1)*e*b=(b^-1)*(a^-1)*a*b,此时根据消去律即得证
⑦任意a,b∈G,方程x*a=b与a*y=b在G中都有解
证明:x*a=b,则同时右乘a的逆元可得x=b*(a^-1),另一个同理
⑶群的等价定义:
①群的单边定义
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G 若满足如下性质:
ⅰ结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
ⅱ任意a∈G,存在e∈G,令e*a=a,e叫作左单位元(左幺元)
ⅲ任意a∈G,存在a ^-1,令(a^-1)*a=e,a^-1叫作a的左逆元
则称G对*构成一个群(若改为右逆元与右幺元也可行)
②群的除法定义
给定一个集合G并在G上定义一个二元运算“*” *:G×G→G 若满足如下性质:
ⅰ结合律:任意a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c)
ⅱ任意a,b∈G,方程x*a=b和a*y=b在G中都有解
则称G对*构成一个群
下面证明单边定义与原定义等价
显然原定义可推出单边定义成立,故只需从单边定义推出原定义即可
超字数了,楼下细说


IP属地:天津来自Android客户端1楼2023-08-04 23:44回复
    设b为a^-1(左逆元)的左逆元,那么a*(a^-1)=e*a*(a^-1)=b*(a^-1)*a*(a^-1)=b*(e*(a^-1))=b*(a^-1)=e
    a*e=a*(a^-1)*a=e*a=e
    证毕


    IP属地:天津来自Android客户端2楼2023-08-04 23:48
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      下面证明除法定义与单边定义等价,进而可说明三种定义都等价


      IP属地:天津来自Android客户端3楼2023-08-04 23:52
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        对于任意a,b∈G,方程x*a=a有解e∈G,即e*a=a,同时a*y=b,故e*b=e*a*y=a*y=b,故e是G的左幺元


        IP属地:天津来自Android客户端4楼2023-08-04 23:59
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          x*a=e有解说明有左逆元,证毕


          IP属地:天津来自Android客户端5楼2023-08-05 00:00
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            官科对集合的理解是错误的所以群论就是建立在一个不稳定地基上的理论,不值一提!


            IP属地:江苏来自Android客户端6楼2023-08-05 00:26
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              民科要是愿意看且看得懂,就不至于做民科了


              IP属地:山东来自Android客户端7楼2023-08-05 00:56
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                ⑷环的定义:
                给定一个集合R并定义两个二元运算“+”“*”,分别叫作加法与乘法(注意与日常区分)
                若①〈R,+〉为阿贝尔群
                ②〈R,*〉为半群
                ③任意 a,b,c ∈R,有(a+b)*c=a*c+b*c和c*(a+b)=c*a+c*b(分配律)
                则称R对+和*构成一个环
                附注:〈R,+〉中的幺元一般叫作零元,记作0(注意与日常生活中的零区分),a的逆元一般叫作负元,记作-a


                IP属地:天津来自Android客户端9楼2023-08-05 16:09
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                  ⑸一些特殊的环:
                  ①零环:
                  只有单一元素的环叫作零环
                  ②含幺环:
                  如果环〈R,+,*〉中〈R,*〉为幺半群,则R为含幺环
                  ③交换环:
                  如果环中的乘法(一定与日常区分!!!)满足交换律,则其为交换环
                  ④单位(这个其实不是环):
                  R是非零的含幺环,若a∈R满足: 存在b∈R,令 a*b=b*a=1(这里的1是乘法幺元,注意区分),则a是R的单位,环R的所有单位构成的集合记作U(R),U(R)对*显然构成群,此群叫作R的单位群
                  注:我们来证明零元不是单位,任意a∈R,有0*a=(0+0)*a= 0*a+0*a,故0*a=0,同理有a*0= 0,故0不存在乘法逆元,故0不是单位
                  ⑤除环:
                  若R是非零的含幺环,且R的任意非零元都是R的单位,则R叫作除环


                  IP属地:天津来自Android客户端10楼2023-08-05 16:45
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                    ⑹域的定义:
                    若F是交换环同时也是除环,则称F为域


                    IP属地:天津来自Android客户端11楼2023-08-05 16:49
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                      ⑺有序域:如果F上规定了序关系≤(序关系的定义见上一个贴子)且满足
                      ①任意 x ,y,z∈F有x≤y→x+z≤y+z
                      ②x≥0且y≥0→xy≥0
                      则称F为有序域


                      IP属地:天津来自Android客户端12楼2023-08-05 16:53
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                        二 实数公理系统:
                        ⑴实数集的定义:
                        若对于集合R,下面的条件成立,则称R为实数集,其元素称为实数,这些条件称为实数公理系统
                        ①加法公理:
                        定义一个二元运算“+”,令R对+构成阿贝尔群
                        其中幺元称为0,逆元称为相反元素(相反数)
                        ②乘法公理:
                        定义一个二元运算“*”,令R/0对*构成阿贝尔群(R/0指R去掉0元素)
                        其中幺元叫作1,逆元就是我们小学所说的倒数
                        ①②加法与乘法的联系:
                        乘法对加法满足分配率,即c(a+b)=ac+bc
                        注:我们可以看出,R是一个域
                        ③序公理:
                        R上规定了一个序关系≥,序关系的定义可以见上一个贴子,同时有:
                        ⅰ任意 x ,y,z∈F有x≤y→x+z≤y+z
                        ⅱx≥0且y≥0→xy≥0
                        注:这里可看出R是有序域
                        ④完备性公理:
                        如果X与Y是R的非空子集,满足对每个x∈X,y∈Y,都有x≥y,则存在c∈R,使对任何x∈X,y∈Y,都有x≤c≤y
                        满足上述公理的任何集合都是实数集的一种表示,即实数模型


                        IP属地:天津来自Android客户端14楼2023-08-05 17:39
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                          ⑵实数公理系统的无矛盾性:
                          说白了就是满足这些条件的集合存不存在,如果从上一个贴子中的ZFC出发,可以建立自然数集(冯诺依曼序列),进而得到整数集,进而到有理数集乃至实数集
                          这里分享一个贴子,他就是以这种思路构造出了实数集,虽然说的不全但是构造方式完全可以
                          https://tieba.baidu.com/p/8398436291?share=9105&fr=sharewise&see_lz=0&share_from=post&sfc=copy&client_type=2&client_version=12.44.1.0&st=1691228667&is_video=false&unique=691EDA2CF2D60E63C6D2B91832B72B8C


                          IP属地:天津来自Android客户端15楼2023-08-05 17:50
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                            范畴性过一会儿再说,累s了


                            IP属地:天津来自Android客户端16楼2023-08-05 18:23
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                              ⑶实数公理系统的范畴性:即该公理系统是否唯一地定义一个数学对象。如果有两个人Cantor和Dedekind独立建立了两个满足上述公理的实数模型Rs与Rc,那么Rs与Rc间存在一个双射f,满足
                              f(x+y)=f(x)+f(y)
                              f(x*y)=f(x)*f(y)
                              x≤y⇔f(x)≤f(y)
                              从数学的角度看,Rs与Rc是完全等价的“同构表示”,映射f叫作“同构”
                              这里说一说我个人的一些理解:为什么我们认为同构表示等价呢?我个人以为,对于彼此同构的几个模型,我们只要研究清楚其中一个模型的结构,然后利用同构完全可以将我们弄清楚的结构给对应到其他模型上,这样只要研究明白其中一个剩下的就全研究明白了,所以压根没有必要一个一个研究。就像一个空间的对偶空间的对偶空间(双对偶空间)一样,处理有限维空间时基本都只研究他和他的对偶空间,因为有限维空间与他的双对偶空间同构


                              IP属地:天津来自Android客户端17楼2023-08-05 21:28
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