众所周知(1+1/n)ⁿ<e<(1+1/n)ⁿ+¹，n∈N，
取ln即有不等式:1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n，n∈N
下面考虑数列x_n=1+1/2+1/3+...+1/n-ln n
x_(n+1)-x_n=1/(n+1)-ln(1+1/n)<0，故x_n是单调递减数列
又有x_n>ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+...+ln(1+1/n)-ln n=ln(1+1/n)>0，故x_n有下界
由魏尔斯特拉定理lim n→+∞(1+1/2+...+1/n-ln n)=γ，其中γ是一个常数，叫作欧拉-马歇罗尼常数
所以有1+1/2+1/3+...+1/n=ln n+γ+ο(1) n→+∞……①
1+1/2+...+1/2n=ln 2n+γ+ο(1) n→+∞……②
②-①得ln2=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n+ο(1)，n→+∞
下面证明任意n∈N，有1-1/2+...-/2n=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
n=1时显然成立，归纳奠基完成
若为n时等式成立，那么1-1/2+...-1/2n+1/(2n+1)-1/(2n+2)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n+1/(2n+1)-1/(2n+2)=1/(n+2)+...+1/（2n+2），证毕
故ln2=1-1/2+1/3-...-1/2n+ο(1)，令n→+∞
即有ln2=1-1/2+1/3-1/4...... 证毕