数域与n元排列上一个贴子传送门
行列式是一个非常重要的概念，但我们接下来将要定义行列式的方式看起来会非常地不自然且缺乏目的性，让人想不通:“整这么个玩意干啥啊？”但随着学习的深入，我们会逐渐体会到他的意义的
灵梦镇楼

一 行列式的定义
⑴Definition:

相应地，一阶行列式|a|=a
看到这个定义时大部分人应该都是懵逼状态，但这种定义的好处是便于推导相关性质
⑵行列式的性质1:
①Definition:把一个矩阵A的第一行换为第一列，第二行换为第二列……得到的新矩阵叫A的转置（即A(i；j)=A'(j；i)，1≤i≤m，1≤j≤n），记作A'或A^T

②Corollary:

证明非常容易，行指标排列12......n经s次对换得到i₁i₂……i_n，列指标排列j₁j₂……j_n经s次对换得到k₁k₂……k_n，而我们在前面的贴子已经证明了对换改变排列的奇偶性，故τ(i₁i₂……i_n)+τ（k₁k₂……k_n）与τ（j₁j₂……j_n）同为奇数或同为偶数，故该公式成立
由以上推论我们立马得到，转置不改变矩阵的行列式的值（重点）
当我初次见到这个公式时我想的第一件事是:为什么不把他当作行列式的定义呢？事实上完全可行，但那样我们必须先证明选定任意行（列）排列i₁i，₂……i_n行列式的值都相同，反到不如直接用本来的定义了
③例:我们给出该性质的一个应用
ⅰ Definition:主对角线下（上）方元素全为0的n级矩阵叫上（下）三角形矩阵，其行列式称为上(下)三角形行列式
ⅱ Theorem:n阶上三角行列式的值等于他的主对角线上n个元素的乘积

证明:咱们从n阶上三角行列式中随机选取一项

由于第n行前n-1个元素全为0，故j_n≠n时，该项为0，故取j_n=n，同理若j_(n-1)≠n-1时，该项为0（此时j_n已经取定n了，故j_(n-1)不能再取n了），故j_(n-1)=n-1，……，最终j_i=i(1≤i≤n)，除以之外其他取法全会得到0，此时证毕
ⅰⅱ Corollary:n阶下三角行列式的值等于他的主对角线上n个元素的乘积
证明:下三角行列式转置后即为上三角行列式，证毕
④Lemma:这里给出一个简单的lemma
如果在n阶行列式中，第i₁，i₂，……，i_k行与第j₁，j₂……j_l列交叉的元素都是0，且k+l>0，那么这个行列式的值为0
证明:行列式的完全展开式中，每一项都包含第i₁,i₂,……,i_k行中位于不同列的元素，这有k个元素，由已知条件，第i₁,i₂,……,i_k行只有与第j₁,j₂,……,j_l列以外的n-l列的交叉位置的元素可能不等于0，又由已知，k>n-l，因此每一项都含有元素0，从而这个行列式的值为0