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向量空间Kⁿ

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行列式的定义与性质上一个贴子传送门
本来是要继续介绍极限的,但由于某民科爆出了0/0是向量的逆天言论,所以我决定推进下代数科普
恋恋镇楼

一 Kⁿ
⑴向量空间:
设V是某个集合,F是某个域
规定如下两种运算:
加法 :V×V→V
数乘 :F×V→V
若这两种运算满足下面8条性质:
对于任意α,β,γ∈V,任意k,l∈F,有
①α+β=β+α
②(α+β)+γ=α+(β+γ)
③存在0∈V,满足0+α=α
④存在-α∈V,满足α+(-α)=0(我们可以看出,V对+构成阿贝尔群)
⑤k(lα)=(kl)α
⑥存在1∈F,令1α=α
⑦k(α+β)=kα+kβ
⑧(k+l)α=kα+lα
满足上面8条性质,我们就说V是F上的一个向量空间,V中的元素就叫向量,他不一定是箭头,还可以是有序数对,多项式,或者是民科脑子进的水,只要满足这些条件那他就是向量
⑵Kⁿ:
Definition:①K是某个数域,n是某个自然数,则Kⁿ:={(a₁,a₂,……,a_n)|a_i∈K,i=1,2,……,n}
规定Kⁿ中的加法:(a₁,a₂,……,a_n)+(b₁,b₂,……,b_n)=
(a₁+b₁,a₂+b₂,……,a_n+b_n)
规定K和Kⁿ上的数乘:k(a₁,a₂,……,a_n)=(ka₁,ka₂,……,ka_n)
②容易得出Kⁿ是K的向量空间,称为K上的n维向量空间,Kⁿ中的元素称为n维向量,设α=(a₁,a₂,……,a_n),a_i是α的第i个分量
③我们定义减去一个向量是加上他的负元,(0,0,……,0)称为零向量,很容易得出下面4条性质
1 0α=0,α∈Kⁿ
2 (-1)α=-α,α∈Kⁿ
3 k0=0,k∈K
4 kα=0→k=0或α=0
由于Kⁿ是阿贝尔群,故阿贝尔群的性质他全满足
④行向量与列向量

我们指出:行向量可视为1×n矩阵,列向量可视为n×1矩阵


IP属地:天津来自Android客户端1楼2023-10-06 22:35回复
    bnllm又被屏蔽了?!我这个贴子是要发给它看的!


    IP属地:天津来自Android客户端2楼2023-10-06 22:40
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      你都知道阿贝尔群了,怎么会看不出平移算符


      IP属地:四川来自iPhone客户端3楼2023-10-07 10:35
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        ⑤若k₁,k₂……k_n∈K,α₁,α₂……α_n∈Kⁿ,那么k₁α₁+k₂α₂+……+k_nα_n称为向量组α₁,α₂……α_n的一个线性组合,k₁,k₂……k_n称为系数,若对于β∈Kⁿ,存在k₁,k₂……k_n∈K,令β=k₁α₁+k₂α₂+……+k_nα_n,那么称β能由α₁,α₂……α_n线性表出


        IP属地:天津来自Android客户端4楼2023-10-07 12:24
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          看到这个的时候我想起了一件挺好玩的事儿:
          当时我们正上网课呢,老师在讲题,然后我在打游戏(Terraria),这时候老师突然喊:“***,**!你俩把摄像头打开!”当时那把我吓的,手机差点儿就掉地上了(忘开虚拟背景了)然后老师就说:“来,***(就是本人)这题你讲”当时两秒钟扫完题:
          直线y=kx+1上取两个不重合的点P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),四个选项问方程组a₁x+b₁y=1,a₂x+b₂y=1的解的情况
          当时我下意识在脑子里把他转化成了矩阵向量乘法,由于刚听了Gilbert Strang老爷子的线代课的缘故又立刻把他拆成线性组合的形式,这时候一看,答案直接出来了,而且还是高中范围内的方法!当时说做法,当方程组拆成x(a₁,a₂)+y(b₁,b₂)=(1,1),OP₁和OP₂不可能共线,故这俩新向量也不能共线(因为a₁b₂≠a₂b₁),然后平面向量基本定理解决。高中以前压根没用过这种思想,然后老师又补了一句:“这和大学的知识相关”,就这样非常成功地装了一波逼
          对了,另一个没开摄像头的是我的同桌


          IP属地:天津来自Android客户端5楼2023-10-08 12:13
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            故数域K上的线性方程组x₁α₁+x₂α₂+……+x_n α_n=β有解⇔β可由α₁,α₂,……,α_n线性表出


            IP属地:天津来自Android客户端6楼2023-10-08 23:48
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              ⑤Definition:
              若Kⁿ的一个非空子集U满足:
              ⅰ α,β∈U➱α+β∈U
              ⅱ α∈U,k∈K➱kα∈U
              那么称U是Kⁿ的一个线性子空间,简称为子空间
              {0}称为零子空间


              IP属地:天津来自Android客户端7楼2023-10-08 23:59
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                显然向量组α₁,α₂,……,α_s的所有线性组合组成的集合是Kⁿ的子空间,称为α₁,α₂,……,α_s生成(张成)的子空间,记作〈α₁,α₂,……,α_s〉故,
                数域K上的线性方程组x₁α₁+x₂α₂+……+x_n α_n=β有解⇔
                β可由α₁,α₂,……,α_n线性表出⇔
                β∈〈α₁,α₂,……,α_n〉


                IP属地:天津来自Android客户端8楼2023-10-09 23:47
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                  二 向量组的秩
                  ⑴线性相关与线性无关
                  ①Definition:Kⁿ中向量组α₁,α₂,……,α_s(s≥1)称为线性相关的,若K中有不全为零的k₁,k₂,……,k_n,满足k₁α₁+k₂α₂+……+k_s α_s=0
                  Kⁿ中向量组α₁,α₂,……,α_s(s≥1)称为线性无关的,若k₁α₁+k₂α₂+……+k_s α_s=0可以推出k₁,k₂,……,k_s全为0
                  ②Corollary:
                  由定义我们立刻得到:
                  ⅰ 包含零向量的向量组必然线性相关
                  ⅱ 单个向量α线性相关当且仅当α=0,单个向量α线性无关当且仅当α≠0
                  ⅱⅰ Kⁿ中,向量组ε₁=(1,0,……,0),ε₂=(0,1,……,0),……,ε_n=(0,0,……,1)必线性无关


                  IP属地:天津来自Android客户端9楼2023-10-10 12:27
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                    建议发数学吧


                    IP属地:陕西来自iPhone客户端11楼2023-10-10 14:25
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                      ③可以从几个角度来考查线性相关的向量组与线性无关的向量组的本质区别:
                      (1)从线性组合看:
                      向量组α₁,…,α_s(s≥1线性相关⇔
                      它们有系数不全为0的线性组合等于零向量;
                      向量组α₁,…,α_s(s≥1)线性无关⇔
                      它们只有系数全为0的线性组合才会等于零向量
                      (2)从线性表出看:
                      向量组α₁,…,α_s(s≥2)线性相关⇔
                      其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。
                      证明:必要性:设α₁……α_s线性相关,则有不全为0的数k₁,….k_s,使得k₁α₁+……k_s α_s=0,设k_i≠0,则由上式得α_i=-k₁/k_iα₁-……k_s/k_i α_s
                      充分性显然
                      向量组α₁,…,α_s(s≥2)线性无关⇔
                      其中每一个向量都不能由其余向量线性表出
                      (3)从齐次线性方程组看:
                      列向量组α₁,…,α_s(s≥1)线性相关⇔
                      齐次线性方程组x₁α₁+…+x_s α_s=0有非零解;
                      列向量组α₁……α_s(s≥1)线性无关⇔
                      齐次线性方程组x₁α₁+…+x_s α_s=0只有零解。
                      ⑷从行列式看:
                      n个n维列(行)向量α₁,…,α_n线性相关⇔
                      以α₁,…,α_n列(行)向量组的矩阵的行列式等于零
                      n个n维列(行)向量组α₁,…,α_n线性无关⇔
                      以α₁,…,α_n为列(行)向量组的矩阵的行列式不等于零
                      (5)从向量组线性表出一个向量的方式看:
                      设向量β可以由向量组α₁,…,α_s线性表出,则向量组α₁,…,α_s线性无关⇔
                      表出方式唯一
                      证明:设β=b₁α₁+…+b_s α_s
                      充分性: 设α₁,…,α_s线性无关,若还有β=c₁α₁+…+c_s α_s,那么c₁α₁+…+c_s α_s=b₁α₁+…+b_s α_s,由于α₁,…,α_s线性无关,故b₁-c₁=0,……,b_s-c_s=0,即b₁=c₁,……b_s=c_s,因此β表出方式唯一
                      必要性: 设β表示方式唯一,假如α₁,…,α_s线性相关,则有不全为0的数k₁,……,k_s,令
                      k₁α₁+……+k_s α_s=0,即β=(b₁+k₁)α₁+……+(b_s+k_s)α_s,故β表出方式不唯一,矛盾
                      向量组α₁,…,α_s线性相关⇔
                      表出方式有无穷多种
                      证明略过,留给各位
                      (6)从向量组与它的部分组的关系看:
                      如果向量组的一个部分组线性相关,那么整个向量组也线性相关
                      如果向量组线性无关,那么它的任何一个部分组也线性无关
                      (7)从向量组与它的延伸组或缩短组的关系看:
                      如果向量组线性无关,那么把每个向量添上m个分量(所添分量的位置对于每
                      个向量都一样)得到的延伸组也线性无关
                      证明 :设α₁,…,α_s的一个延伸组为a₁,…,a_s,则从
                      k₁a₁+……+k_s a_s=0可得出k₁α₁+……+k_s α_s=0
                      若α₁,…,α_s线性无关,则从上式得k₁=…=k_s=0。
                      从而a₁,…,a_s也线性无关
                      如果向量组线性相关,那么把每个向量去掉m个分量(位置对于每个向量都一样)得到的缩短组也线性相关


                      IP属地:天津来自Android客户端12楼2023-10-12 00:01
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                        ④Lemma:若已知α₁,α₂,……,α_s线性无关,则β可由向量组α₁,α₂,……,α_s线性表出的充要条件是向量组α₁,α₂,……,α_s,β线性相关
                        证明过于简单,故略去


                        IP属地:天津来自Android客户端13楼2023-10-12 12:23
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                          很自然地有如下corollary:
                          若已知α₁,α₂,……,α_s线性无关,则β不能由向量组α₁,α₂,……,α_s线性表出的充要条件是向量组α₁,α₂,……,α_s,β线性无关


                          IP属地:天津来自Android客户端14楼2023-10-12 13:07
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                            ⑤Lemma:因为行列式没法打,就发图了


                            IP属地:天津来自Android客户端15楼2023-10-13 22:19
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                              ⑥Lemma:Kⁿ中,任意n+1个向量都线性相关
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                              IP属地:天津来自Android客户端16楼2023-10-13 22:24
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