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一只赶火车的甲虫——奥昆问题

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今天语文课复习了卡夫卡的《变形记》,然后就想到了奥昆向萨哈罗夫提出的这个问题:
有一根长1km的弹性绳,绳一端被固定住,另一端在你的手里,一只甲虫从固定端以1 cm/s的速度向你的手爬去,同时甲虫每爬完1cm,你就将绳再拉长1km,那么甲虫能否爬到你的手上?
我们不妨假设这只甲虫就是可怜的格里高尔,那么格里高尔能赶上六点三刻的火车吗?还是永无出头之日,只能在极端孤独中死去呢?

解答:
在第1秒后,格里高尔爬了1cm,也就是爬过了绳的1/10^5,然后把绳拉长为2km,由于拉长的同时格里高尔也会被带动,故他还是处在绳的1/10^5处,经过2秒后,格里高尔又爬了绳的1/(2×10^5),此时将绳拉长为3km,格里高尔处于绳的1/10^5 +1/(2×10^5)处,……,等经过n秒后,格里高尔就处于绳的1/10^5 (1+1/2+……+1/n)处。故只要1+1/2+……+1/n能超过十万,那么可怜的格里高尔就能解放了,而我们在序列的极限中证明了调和级数是发散的,故格里高尔可以逃脱。
由干1/2+……+1/n<∫₁ⁿ 1/x dx<1+1/2+……1/(n-1)(画个图看面积就行了),故ln n+1/n<1+1/2+……1/n<ln n+1,当ln n=100000时,n=e^100000,当ln n+1=100000时,n=e^99999,故格里高尔逃脱花费的时间大于e^99999秒,这还赶个锤子的火车了!所以他到底是挨了老板的骂


IP属地:天津来自Android客户端1楼2023-10-13 12:30回复


    IP属地:天津来自Android客户端2楼2023-10-13 21:38
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      这里留下一个思考题,仅针对吧里的所有数学民科:
      如果格里高尔每爬1cm后将绳拉长为原来的2倍,格里高尔还能逃脱吗?


      IP属地:天津来自Android客户端3楼2023-10-13 21:43
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        IP属地:江苏来自Android客户端4楼2023-10-13 22:53
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          莉格露!


          IP属地:黑龙江来自Android客户端5楼2023-10-14 00:02
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