严谨证明1=2，数学的大厦轰然倒塌！——论黎曼重排定理
在上一个贴子的结尾，我们提出了一个问题：如果将交错调和级数的p个级数项和q个偶数项组成一组进行重排的结果会是什么。下面我们便解答这个问题
uuz镇楼
这里我们需要用到ln2=1-1/2 1/3-1/4......的证明中证明的一个公式:
1+1/2+...1/n=ln n+γ+o(1)，其中γ是欧拉-马歇罗尼常数
因而任意n∈N，都有
1/2+1/4+...+1/2n=1/2ln n+γ/2+o(1)……①
1+1/2+...+1/2n=ln n+ln2+γ+o(1)……②
两式相减有
1+1/3+...+1/(2n-1)=1/2ln n+ln2+γ/2+o(1)……③
我们用np替换③式中的n，再用nq替换①式中的n，然后将两式相减，我们就得到了交错调和级数按上述规则重排后的一个部分和，我们将其记作S_n(p,q)
令n→∞即得该部分和的极限1/2ln(p/q)+ln2，又由于T_n(p,q)=S_n(p,q)+(再来p个交错调和级数的奇数项)也是交错调和级数的部分和且其极限亦为1/2ln(p/q)+ln2，任意一个n≥(p+q)，总有一个k∈N，满足k(p+q)≤n<k(p+q)+p，n→∞时，k→∞，故对于该重排S_n，我们有S_k(p,q)≤S_n≤T_k(p,q)(前面有限个S_n不考虑)，令n→∞，由夹逼定理就有该重排的值为1/2ln(p/q)+ln2
在上一个贴子的结尾，我们提出了一个问题：如果将交错调和级数的p个级数项和q个偶数项组成一组进行重排的结果会是什么。下面我们便解答这个问题
uuz镇楼
这里我们需要用到ln2=1-1/2 1/3-1/4......的证明中证明的一个公式:
1+1/2+...1/n=ln n+γ+o(1)，其中γ是欧拉-马歇罗尼常数
因而任意n∈N，都有
1/2+1/4+...+1/2n=1/2ln n+γ/2+o(1)……①
1+1/2+...+1/2n=ln n+ln2+γ+o(1)……②
两式相减有
1+1/3+...+1/(2n-1)=1/2ln n+ln2+γ/2+o(1)……③
我们用np替换③式中的n，再用nq替换①式中的n，然后将两式相减，我们就得到了交错调和级数按上述规则重排后的一个部分和，我们将其记作S_n(p,q)
令n→∞即得该部分和的极限1/2ln(p/q)+ln2，又由于T_n(p,q)=S_n(p,q)+(再来p个交错调和级数的奇数项)也是交错调和级数的部分和且其极限亦为1/2ln(p/q)+ln2，任意一个n≥(p+q)，总有一个k∈N，满足k(p+q)≤n<k(p+q)+p，n→∞时，k→∞，故对于该重排S_n，我们有S_k(p,q)≤S_n≤T_k(p,q)(前面有限个S_n不考虑)，令n→∞，由夹逼定理就有该重排的值为1/2ln(p/q)+ln2
