函数的极限上一个贴子传送门

上面便是我们高中就学习过的零点存在性定理，也叫波尔扎诺-柯西中值定理。注意到：这个定理中要求f(x)的图像必须是一条连续不断的曲线，但是，从我们讲过的实数公理系统开始，我们并没有说过什么是“连续不断的曲线”，也就是说，高中的这个定理是不合理的，数学的大厦又双叒叕轰然倒塌
高中教材之所以这样写也是不得已而为之，由于学生水平不足，高中不能像数分一样把实数公理系统完整地讲一遍，不然刚入学的高一小朋友们一看到实数的定义写了整整一面纸就得被吓跑。由于没有一个坚实的公理体系作为基础，后面的内容也自然会有不严谨之处，因此像上面的“连续”等概念也就只能靠直观感受了(了解微分学后再看高中教材的导数是真难受啊)
我们已经有了实数公理系统一些近世代数内容与实数，现在便可以严谨地定义“连续”了

一 基本定义
⑴Definition1：函数f：E→R在某点a(a∈E)是连续的，若f(a)的任意邻域V(f(a))，总存在a在E上的一个邻域U(a)，令f(U(a))包含于V(f(a))
①我们指出，连续性不是整体性质而是局部性质
②在这个定义中，f 在E的孤立点上也是连续的，也有些教材的定义认为函数在孤立点上是不连续的
③若a是E的极限点，则f 在a上连续的充要条件是f 在x→a的极限为f(a)，证明过于简单，略去
④由连续的定义，若 f在E的极限点a连续，则lim(x→a)f(x)=f(lim(x→a)x)，即在一点连续的函数可与极限交换顺序，这样我们可以得到十分重要的海涅归结原则
⑤由柯西准则，我们可得函数在a∈E连续的充要条件：∀ε>0，∃U(a)，令ω(f；U(a))<ε
⑵Definition2：量ω(f；a)=lim(δ→+0)ω(f；U(a))(δ是邻域半径)称为f：E→R在点a∈E处的振幅
①由上面的⑤我们可知，函数在一点处连续的充要条件是他在该点处振幅为0
②各位可以尝试自行验证我们对ω(f；a)的定义是合理的
⑶Definition3：若f：E→R在E上每个点都连续，那么称f是E上的连续函数
⑷Definition4：若f：E→R在某个点不连续，那么这个点称为他的间断点
⑸Definition5：若函数在某一间断点处极限存在，那么我们称该点为可去间断点
⑹Definition6：若函数在某一间断点处左右极限都存在但不等，则称其为第一类间断点，若两极限有一者不存在则称其为第二类间断点