对于任意集合X，记P(X)={A|A⊆X}为X的所有子集的集合，称为X的幂集
对任意映射f:X→P(X)，考虑Y:={x∈X|x∉f(x)}，显然Y是X的子集，于是Y∈P(X)。
若存在y∈X使得f(y)=Y，此时：若y∈Y，则由Y的定义有y∉f(Y)=Y，矛盾；若y∉Y，则y∉f(Y)=Y，由Y的定义有y∈Y，矛盾、因此对任意y∈X，f(y)均不得等于Y。于是f不可能是满射。
双射是满射，所以对任意集合X，均不存在X到其幂集P(X)的双射。

让高中生证明 Cantor 定理，真是离谱……

反证法。
首先将N+的子集对应[0,1]中的二进制实数。具体方法为：
S→s=0.s1s2s3...
其中，如果1∈S，那么s1=1，否则s1=0；
如果2∈S，那么s2=1，否则s2=0；
如果3∈S，那么s3=1，否则s3=0；
……类推。
那么，显然N+的所有子集可一一对应[0,1]中的所有实数，其中空集对应0，全集对应1。
接下来，假设存在一种一一对应关系，使得正整数们与N+的所有子集可一一对应。
也就是说，存在一种对应关系，可表示为：
1→S1→s1=0.s11s12s13……
2→S2→s2=0.s21s22s23……
3→S3→s3=0.s31s32s33……
……
那么现在可以取实数t=0.t1t2t3……，其每一位的取法为ti=1-sii，亦即：
如果s11=1，则t1=0；如果s11=0，则t1=1。
如果s22=1，则t2=0；如果s22=0，则t2=1。
如果s33=1，则t3=0；如果s33=0，则t3=1。
……
于是，获得实数t之后，我们可以发现，这个t一定和前述的所有的si都不相等，因为至少有一位数是不一样的。
因此，t不在前述列表中，也就是上述一一对应没能包含t。
所以不存在这样的一一对应，使得正整数和N+的所有子集一一对应。证毕。

康托再世了属于是

我建议是放弃

考场上选Cantor？