基于皮亚诺公理，我们可以定义自然数与自然数之间的加法运算。定义在自然数集上加法运算是二元运算，本质上是一种二元映射S：N×N→N。它满足：1、对任意的n∈N，0+n=n；
2、对任意的m,n∈N，m'+n=(m+n)'。
翻译成集合论的语言，就是：
1、对任意的n∈N，S（n，0）=n；（抽象代数中一般默认从右往左运算，代表右边受到左边的作用，所以这里的顺序会反过来，当然这里全部反转回去也无所谓。）
2、对任意的m,n∈N，S（n，f(m)）=f（S（n，m））。
接下来，我们可以证明以下推论：
一、对任意的m,n∈N，m+n定义良好。证明方法：根据数学归纳法，归纳奠基：已知对任意的n∈N（懒得打这句了，默认读者能自己意识到我遗漏的部分），0+n有良定义（存在且唯一）；归纳递推：m+n有良定义→m'+n有良定义；结论：任意的m+n有良定义。
二、n+0=n。证明：①0+0=0；②n+0=n→n'+0=(n+0)'=(n)'=n'
三、1+n=n'，n+1=n'。证明：前式：已知1＝0'，则1+n=0'+n=(0+n)'=n'。后式：①0+1=1=0';②n+1=n'→n'+1=(n+1)'=(n')'
四、m+n'=(m+n)'。证明：①0+n'=n'=(n+0)'；②m+n'=(m+n)'→m'+n'=(m+n')'=(m'+n)'，最后一个等号是根据对已有的m和任意的n，m+n'=(m+n)'=m'+n推出来的
五、加法交换律：m+n=n+m。证明：①0+n=n=n+0;②m+n=n+m→m'+n=(m+n)'=(n+m)'=n+m'
六、加法结合律：a+b+c=a+(b+c)。注意，一般来说，a+b+c的含义是a+（b+c）。证明：①a+(0+c)=a+c=(a+0)+c;②a+(b+c)=(a+b)+c→a+(b'+c)=a+(b+c)'=[lbk]a+(b+c)[rbk]'=[lbk](a+b)+c[rbk]'=(a+b)'+c=(a+b')+c
七、加法消去律：a+c=b+c→a=b。证明：①a+0=b+0→a=a+0=b+0=b;②(a+c=b+c→a=b)→(a+c'=b+c'→(a+c)'=(b+c)'→a+c=b+c→a=b)，倒数第二步用到了皮亚诺公理中的第四条公理：对任意的m,n∈N，m'=n'→m=n
八、若n是自然数，要么n=0，要么存在一个自然数m，使得m'=n。
证明：将这条语句记为P，显然有：①P（0）为真；
②P（n）→P（n'）
接下来定义乘法，满足：1、0*n=0；
2、m'*n=m*n+n。
最后定义序关系＞，当我们写a＞b（a,b∈N）的含义是：存在自然数m且m≠0，使得a=b+m。定义序关系＜，要求b＜a和a＞b含义完全相同。
课后练习：证明以下推论：
加法：
九、a+b=0→a=0且b=0。
乘法：
一、n*0=0。
二、1*n=n*1=n。
三、m*n'=m*n+m。
四、乘法交换律：a*b=b*a。
五、乘法结合律：a*b*c=(a*b)*c。
六、乘法分配律：a*(b+c)=a*b+a*c。
七、乘法消去律:当c≠0时，a*c=b*c→a=b。
八、a*b=0→a=0或b=0。
序关系：
一、a>b是a+c>b+c充分必要条件。
二、传递性：a>b且b>c→a>c。
三、三歧性：对任意的a,b∈N，a＞b，a=b，a＜b三条关系中有且仅有一条成立。
四、a＞b且c≠0→a*c=b*c。
五、a*c=b*c且c≠0→a＞b。