集合A＝1-1/10的n次方
（0.9，0.99，0.999，0.9999，……）集合A中不存在0.9循环。
因为1大于集合A中的任何元素。0.9循环＝1，所以0.9……不属于集合A。且0.9循环大于集合A中的任何数。
由于小于1的任何数，小于或等于集合A中的元素。
所以，0.9循环大于所有小于1的数。
小于1的数是小数，所以0.9循环不是小数。

0.9循环是否为实数呢？
①0.9循环通过10a-a＝9a求其分数，得结果为1
所以0.9循环的分数表示只能是1/1
所以1/1＝0.9循环 所以1÷1＝0.9循环
违背1÷1＝1
运算结果不符合运算逻辑。所以1/1不是0.9循环的分数表示。
0.9循环没有分数表示，它不符合有理数的定义。
若0.9循环非有理数，显然与有理数1，不是同一个有理数。
（这里要注意不要弄混了，1＝0.9循环，不等于1和0.9循环是同一个数。）
②由于1＝0.9循环，可得1与0.9循环之间无任何数。
作为一个无理数，0.9循环无法分割有理数为两类。
所以0.9循环不符合无理数的定义。
既非有理数也非无理数，0.9循环不是一个实数。

你们有些人真的让我无语了，一进帖子看个标题，就自己按照你以为我想表达的意思，框框一顿发泄。我真的有种莫名其妙的感觉，你们真的是个人？

脑子是不动，b是要装的

一进帖子上嘴唇下嘴唇一吧嗒，框框一顿发泄，是人吗这？

楼主的证明不严密啊，你需要证明小于1的数，小于或等于A中的元素

才能证明后面的

（理性讨论，勿互喷。）
明白了。你是觉得这和直觉不对所以反对。
对于2楼：当该集合是无穷集的时候，0.999...∈A
对于3楼：1÷1=0.9循环，没问题。你实在觉得理解不了，就换成三进制算，当一切能够除尽，结果就很显然了。实数运算的基本定律在三进制之中显然仍然成立。
所有无限循环小数都是有理数。两个实数中间插不进任何数，那它们必须相等。
对于6楼：我能够看明白，你是想以夸张的手法来表明自己认为某些说法是不对的。只是因为你这个看起来太睿智了，让民科吧的人乍一看很难不认为你在反串疯子民科。