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【数学与生活】e与贷款 利率

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提到e你最先想起的是什么?是在桌面万年不变的Internet Exploration么?还是数学大题最后一题里经常看到的f(x)=(e^x+e^-x)/2 ? (以及许多带有e的函数)想到后一种的,恭喜你是个尽心尽力的理科生,上网也不忘数学!!

这一贴介绍一下一个数学里重要的常数——e。在高中数学必修一中我们就见过这个数,我们叫它自然常数。百度一下它的定义——自然常数e就是lim(1+1/x)^x,x→+∞或lim(1+z)^(1/z),z→0,其值约为2.71828,是一个无限不循环小数。 (以上照抄百度)除了这种定义外,经常可以在教科书和资料上看到另外一种定义——自然对数的底数——这话是废话。
那么在没有学习极限的定义时,怎么来理解e这个常数呢?很简单,我们来举一个实例。


IP属地:上海1楼2014-08-08 20:52回复
    那么假如我是一个银行家,我向许多人——比如你,提供可用的资金。
    我借给你了一块钱(这年间一块钱能干什么?)一周,我的利息很高,是100%,也就是说你一周后要还给我两块钱。我坐在家里喝汽水就白拿了一块钱,真是暴利。


    IP属地:上海2楼2014-08-08 20:56
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      现在你遇到了一个新情况,你不需要借那么久,所以利息也少得多,你可能只借个三天,之后的每三天我继续借给你(这样除不尽,但还是这样,因为谁也不可能为了一块钱跑到银行,就当这是个笑话吧)
      那么我来算一算,你只借了三天,是一周的七分之三,那么理所应当利息应该是一块钱(原来的利息)的七分之三,那么三天以后你得还我1+3/7=1.429元,之后我把这些钱继续借给你,(没错,你遇上了利滚利!),又过了三天你欠我(1+3/7)(1+3/7)=2.041元,你是否发现了一个问题,这是第二次借而你欠我(1+3/7)^2元钱,我们完全有理由相信这是一个规律。那么我们不用再计较难以计算的1天了,你每次借三天,所以你得借7/3次钱,这刚好比2多一点,所以你欠我(1+3/7)^7/3=2.298元。事实上这是对的,你的确得还我那么多!


      IP属地:上海3楼2014-08-08 21:08
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        ‘再短一些!’你对我说。
        于是我又缩短了还款的期限,因为你实在一次拿不出来两块钱,甚至你连1.429元都拿不出来了。于是我每天借给你一次钱了。那么同样的道理,第一次你欠我1+1/7=1.114元了。这样下去,第七次,你得还我——嗯,让我算算——是(1+1/7)^7=2.546元。最后实际上你得还我的钱比之前还多,但这是你目前能做的,你一次拿不出来两块,只能这样细水长流,把你的钱流到我的口袋。


        IP属地:上海4楼2014-08-08 21:13
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          不过这样也不够,你也还不起1.114元,我也不能忍受这么低的利息了。
          我们一小时结一次吧,我说。
          你只能答应。
          不过你从之前一路看下来,似乎发现了什么,对,假如我一共借给你n次钱,那么最后一次你得还给我(1+1/n)^n元,或者说我每隔总时间的t倍借你一次钱,你得还我(1+t)^1/t。你可以发现这两种表达实际上是一样的,只不过我借你钱的次数n越大,间隔时间t也就越小。
          是的那么一小时结一次,总共借给你24*7=168次钱,那么就是(1+1/168)^168=2.710元!


          IP属地:上海6楼2014-08-08 21:21
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            那么我们现在每分钟结一次,甚至如果你不想呼吸就每秒一次!
            我们用excel计算吧。我们可以把借款次数无限制的增多,只要我确定你还的过来。


            IP属地:上海8楼2014-08-08 21:33
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              我们可以看到,随之我不断地压迫你,借款次数不断增多,你需要还给我的钱却不会无限制的增加(我想用这一块钱的利息买宝马的梦想破灭了!)
              仔细观察会看到它神奇的逼近某个数字,前几位是2.71828,似乎每一位数字间没有什么规律,是的,这个数字就是lim(1+1/n)^n,x→∞。这串字是什么意思呢?意思是我完全不在乎你的感受,把借款次数无限制的增加,甚至比你能数出的最大的数字还要大。我们把它用一个字母表示——e,正如我们用希腊字母π表示圆周率一样。相传是欧拉最先使用的,不过这不意味着欧拉那个时代就已经有IE了。


              IP属地:上海9楼2014-08-08 21:40
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                于是就这样,我并没有用这一块钱的收益来买到宝马,不过我的收益率是相当惊人的——足足有271.828%!!!马克思说百分之三百的利润可以让人上绞架,那么我想我离绞架不远了!我完全可以用这份收益率去上海或者深圳去吸引一大批投资人,然后用他们给我的资金投资,我可以从中得到许多宝马!!于是我可以开着我的宝马去欧拉墓前,感谢他的e给我带来的收益!
                左边的图是欧拉墓


                IP属地:上海10楼2014-08-08 21:46
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                  来说一些有趣的e的性质吧。
                  e^x的导数还是e^x


                  IP属地:上海12楼2014-08-09 16:50
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